알바 손해배상 근로계약

제가 지금 저희 지역 내에서 큰 학원에 강사 알바를 하고 있습니다. 그냥 대학교 홈페이지에서 구인글을 보고 면접을 보고서 일을합니다.
6개월짜리 알바인데 4대보험과 근로계약서는 쓰지 않았습니다. 첫알바라 제가 뭘 잘 모른 잘못이네요.
저는 지금 4개월 째 알바를 하는 중입니다. 그런데 제가 사정이 생겨서 6개월을 도저히 채울 수가 없는 상황입니다.
그래서 지난 달에 제가 학원을 11월까지만하고 그만둬야겠다고 말씀을 드렸어요. 그런데 원장님이 그건 어렵다며 엄마들 민원은 어떡할거냐 6개월 계약기간 안지키면 안되는 거 아니냐며 12월까지는 일을 나와달라며 사정을 하셨어요.
근데 저는 정말 그건 어려울 거 같아 다시 찾아가서 또 말씀을 드리고 안된다고 하시고 학원에 손해가 클 것이라며 손해배상 청구라도 하면 어떡할거냐고 말씀하시네요. 물론 협박조는 아닙니다만 분위기가 불편한 거는 맞네요..
제가 첫 알바이다보니 제대로 처신을 못하는 거는 맞는데, 정말 이번달까지망 일을 할 수 있을 거 같아서 문의드립니다.

근로계약서 미작성 / 4대보험 미가입 /

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